(1)1.Модель оценивания работоспособности информационной системы в условиях неопределенности
Сложные информационные системы содержат в своем составе технические средства, программное обеспечение и человека-оператора (группу операторов). В качестве технических средств рассматриваются вычислительные комплексы, системы передачи данных с аппаратурой приема и передачи, ввода и вывода необходимой информации и другие устройства. Свои функции такие средства выполняют под управлением оператора (группы операторов), рабочим местом которого, как правило, является автоматизированная установка на базе компьютера или просто персональный компьютер. Мощные программные средства и удобные интерфейсы пользователя позволяют оператору получать необходимую информацию о различных состояниях компонентов средств и внешней среды, вводить новые данные, задавать необходимые управляющие воздействия.
Дальнейшее увеличение производительности информационных систем связано с ростом их технической и программной сложности. Ужесточаются в этой связи и требования к деятельности оператора. Более сложной системе соответствует более сложное ее поведение. Качество функционирования системы во многом определяется ее работоспособностью или, говоря как принято в технической литературе, ее надежностью. Хотя термин надежность к сложным системам следует применять с определенной осторожностью. К различным частям системы он, мы считаем, традиционно может быть применен. Здесь мы будем отождествлять надежность с работоспособностью и относить к каждой из трех рассматриваемых компонент. Чем выше сложность информационной системы, тем более высокие требования нужно предъявлять к ее надежности. Но чтобы их предъявлять нужно уметь оценивать уровни надежности всех компонент и их вклад в уровень надежности всей системы. Подчеркнем еще раз то обстоятельство, что современная информационная система - сложная система со всеми присущими сложным системам свойствами. Она является структурно-, информационно- избыточной системой. Ее элементы обладают приспосабливаемостью к условиям функционирования, адаптивностью. Поэтому применять к ним “стеснительный” термин надежности неправомочно. Для такой системы трудно сформулировать и понятие отказа. Однако, если мы хотим получить нижнюю, грубую, наихудшую границу оценки ее работоспособности, то вправе рассматривать указанные компоненты как независимые в процессе их функционирования, а для анализа и синтеза показателей надежности информационной системы по-прежнему применять принцип “слабого звена”, ”равнопрочности” и т.д. Конечно, при умении построить более совершенную модель информационной системы подобное грубое ограничение должно быть снято.
В дальнейшем будем полагать, что нарушение работоспособности любой из трех компонент приводит к нарушению работоспособности системы, которая должна функционировать непрерывно в течение заданного времени. Кроме того, будем полагать, что рассматриваемые компоненты системы не только не обладают избыточностью, но и не могут восстанавливаться при выполнении задачи, являются одинаковыми с точки зрения их функциональной значимости. Последние два допущения не являются принципиальными и сравнительно легко могут быть сняты: первое из них введением показателей с учетом восстановления, а второе за счет, например, введения весовых коэффициентов. Допущения приняты для простоты получения результата оценивания. В известной мере это оправдывается и тем фактом, что в современной научно-технической литературе вопросам оценивания работоспособности сложных человеко-машинных систем с развитым программным обеспечением уделяется мало внимания, отсутствует единый концептуальный подход к исследованию таких систем.
Кроме того, оценивание подобных систем из-за существенной неопределенности, обусловленной отсутствием достоверных априорных распределений для компонент, наличием ограниченного объема результатов испытаний, отсутствием моделей оценивания деятельности операторов в условиях обучения, времени и др., заставляет ограничиваться рассмотрением случайных оценок показателей работоспособности как компонент, так и системы в целом.
В условиях принятых допущений о работоспособности системы в качестве показателя качества естественно выбрать вероятность функционирования системы без нарушений:
(1)
где 
-вероятности правильного
функционирования системы, средств техники,
программного обеспечения и человека-оператора.
Знак * означает, что каждая вероятность есть
случайная величина. Предполагаем, что каждая
вероятность описывается своей плотностью
распределения fc(P),f1(P),f2(P),f3(P). Необходимо получить плотность
вероятности fc(P) системы, либо ее моменты, а
затем выполнить выравнивание плотности по
моментам. Исходными данными будут служить
моменты трех компонент системы.
Используем преобразование Меллина [3] :
(2)
где
f(x)-некоторая функция, интеграл от которой существует, а s-переменная преобразования.Если
f(x) плотность распределения на полуоси [0;Ґ ), то (2) есть (s-1)-й начальный момент случайной величины X. Можно убедиться, что если случайная величина Х равна произведению случайных величин Хi, то (2) равно произведению преобразований Меллина плотностей вероятностей величин Хi:
(3)
Из (3) следует, что значение
i-го начального момента произведения (1) равно произведению соответствующих начальных моментов сомножителей. Так, при s=2 получаем первый момент, s=3 второй, и т.д.Если выражения для 
достаточно просты, то в общем случае можно
получить аналитическое выражение для
изображения
(4)
Если отыскание плотности таким образом затруднительно, тогда для некоторых компонент системы найдем значения начальных моментов с помощью (2), а для остальных компонент - другими способами. Затем найдем значения моментов результирующей плотности вероятностей
fc(P), по которым можно подобрать аппроксимирующую плотность вероятности fа(P) системы.Рассмотрим оценивание компонент системы. Отдельно рассмотрим оценивание работоспособности технических средств, программного обеспечения и человека-оператора.
А) Технические средства. При
рассмотренных допущениях работоспособность
(надежность) можно оценить показателем
вероятности безотказности работы при
экспоненциальном законе надежности (приработка
средств закончена, а их старение не наступило) 
, где 
-заданное время работы технических
средств,
-интенсивность
отказа, являющаяся в нашем случае величиной
случайной. Предполагая, что данная априорная
плотность известна, найдем апостериорную
плотность вероятности величины 
, используя байесовский подход [5]:
, (5)
где 
- число
отказов средств техники, наблюдавшихся при её
испытании в течение времени 
,а Г(x) – гамма-функция Эйлера. Согласно (2)
имеем:
. (6)
Из (6) нетрудно найти значения моментов
случайной величины вероятности безотказной
работы технических
средств.
Б) Программные средства. В последнее время вопросу работоспособности программного обеспечения уделяется все большее внимание. Причины отказов информационных систем по вине программного обеспечения отличны от причин отказов техники. В теории существует множество различных моделей, позволяющих прогнозировать надежность программного обеспечения на различных этапах его жизненного цикла. Однако, на завершающих стадиях испытаний, когда основная часть дефектов уже устранена, возникающие ошибки достаточно лишь фиксировать, так как они не должны приводить к катастрофическим последствиям. То, что эти ошибки будут проявляться случайным образом, объясняется тем, что они возможны в силу случайного выбора исходных данных, определяющего случайную траекторию вычислений, на которой может быть нарушено хотя бы одно из условий требуемой точности вычислений или какое-то предикатное условие, определяющее дальнейший ход траектории процесса вычислений. Предотвратить подобные ошибки в сложных программных средствах за счет более полного их тестирования практически невозможно.
В подобном случае целесообразно, на
наш взгляд, не применять оценочные модели теории
надежности программного обеспечения, поскольку
это значительно усложнит задачу исследования.
Для анализа и повышения надежности программного
обеспечения сложной структуры можно пойти путем
декомпозиции и представления его в виде
совокупности взаимосвязанных модулей частных
программ, как указано в [6]. В данном случае
целесообразнее воспользоваться более простым
методом последовательных испытаний и
биноминальным законом вероятности для получения
оценки величины 
.
Плотность вероятности безошибочного
функционирования программной компоненты будет
равна:
, (7)
где n-полное число прогонов программы функционирования информационной системы, m- число успешных прогонов. Тогда в соответствии с (2):
(8)
В) Человек-оператор. Оценить
работоспособность человека-оператора как одну
из необходимых компонент сложной системы
достаточно трудно в силу присущих ему свойств
живого организма, обладающего адаптационными
возможностями. Вопросы учета человеческого
фактора рассматриваются в научно-технической
литературе с различных точек зрения. В нашем
случае воспользуемся следующим представлением
этой компоненты. Будем считать, что перед
конкретными испытаниями в работе оператор
подвергался обучению соответствующей
функциональной деятельности в течение времени 
и за это время совершил k
ошибок со случайной интенсивностью их влияния
, (9)
где
t3 - необходимое для выполнения задачи время работы оператора в информационной системе. Экспонента в показателе данной формулы фактически представляет собой вероятность невыявления ошибки оператора в процессе его обучения за время t . При этом, чем больше время обучения t , тем меньше вероятность невыявления ошибки в его действиях, тем больше вероятность безошибочного функционирования оператора при выполнении им задачи в течение времени t3. Выражение (9) является аналогом для оценивания вероятности безошибочного функционирования программного обеспечения в течение времени t3 при условии, что время его отладки до использования было равно t . В надежности программного обеспечения оно известно как модель Мусы [7].Напомним, что в наших условиях параметры
n и l случайны. Оценивание их методом максимума правдоподобия на основе проведенных испытаний дает следующие результаты:
значения среднеквадратических
отклонений
В дальнейшем мы полагаем что случайные величины нормально распределены, описываются плотностями:
,
,
где Ф(х) - функция Лапласа.
Тогда плотность вероятности величины (9) будет равна в силу ее монотонности по каждому параметру
l ,n :
(10)
где
d - дельта-функция Дирака.Из (10) найдем значения начальных моментов случайной величины Р
3:
(11)
Для реальных значений к и r
3 коэффициенты нормирования:
то есть можно считать, что обе плотности сосредоточены только на положительной полуоси [0;
Ґ ). После несложных преобразований можно получить приближенную формулу:
(12)
в которой 
Вычисленные с помощью (12) численные значения моментов можно использовать вместо преобразования Меллина в (3) для конкретных значений параметра s=1,2….
Г) Оценивание системы. Как отмечено ранее, найти аналитическое выражение, взяв обратное преобразование Меллина от преобразований плотностей вероятностей “безотказной работы” частей системы не всегда возможно. Однако, имея численные значения начальных моментов искомого распределения, можно его аппроксимировать по методу моментов некоторым распределением. В нашем случае удобно воспользоваться
b -распределением, плотность вероятности которого имеет вид:
(13)
где a и b – параметры распределения, а
- бета-функция.
В этом случае достаточно знания двух первых моментов, выражения для которых имеют вид:
(14)
Приравняв определенные ранее значения моментов Рс* к соответствующим значениям (14), найдем из полученной системы уравнений значения параметров a и b. По ним с помощью (13) построим искомую плотность вероятности.
Пример. Человеко-машинная система с единым циклом работы продолжительностью 2 часа испытывалась 50 раз.
Оператор принимал участие в работе в течение всего периода испытаний. ТогдаТ
1=Т3=100 ч, t1=t3=2ч. При этом оператор проходил подготовку в течение времени 10ч., за которое выявлено к=30 ошибок. При работе системы он допустил r3=5 ошибок, техника отказывала r1=1 раз, программное обеспечение (n-m)=2 раза. Согласно выражениям (6),(8),(10),(3) получим:
Параметры
b -плотности равны: a=80;b=27. График аппроксимирующей плотности для системы изображен на рис.1.
Рис.1
Данную модель целесообразно использовать во время промежуточных испытаний, когда имеется возможность вернуться на более ранее этапы создания системы и провести доработку ее частей. В наибольшей степени это относится к программному обеспечению.
Если к системе предъявлены требования
по показателю работоспособности в виде 
, то в первом приближении,
считая ее компоненты равнозначными, можно к ним
предъявить требования 
,
и сравнить с ними соответствующие результаты
оценивания. Повышать надежность технических
средств можно за счет выбора новой элементной
базы, снижением нагрузки на элементы,
структурным резервированием. Повышать
надежность программного обеспечения можно его
дальнейшей доработкой, увеличением
продолжительности тестирования отдельных
программных модулей, всего комплекса в целом.
Надежность человека-оператора можно повышать
путем увеличения времени его обучения, путем
повышения интенсивности тренировочных
процессов. Для технических и программных средств
возможно решение как в отдельности, так и вместе,
оптимитизационной задачи по распределенного
определенного количества ресурсов с целью
достижения максимального или заданного значения
показателя надежности. Решение же аналогичной
задачи для информационной системы в целом
возможно лишь в том случае, когда известен
механизм влияния вложенного количества ресурса
в человека-оператора на величину показателя его
работоспособности.
Таким образом на основе предложенной модели можно количественно оценивать работоспособность (надежность) сложной человеко-машинной системы с развитым программным обеспечением. Достоинство модели состоит в том, что в ней учитываются три наиболее существенных части любой информационной системы (технические средства, программное обеспечение, человек-оператор), а также возможность работать с ограниченным объемом статистических данных по каждой из трех частей. Модель достаточно проста, но в то же время достаточно груба. Использование более точного подхода потребует применения более совершенных моделей отдельных компонент системы, более тщательного учета и сбора исходных данных, несущих информацию о состоянии системы.
2. Модели оценивания и обеспечения надежности сложного программного комплекса
В связи с массовым внедрением средств вычислительной техники в различные сферы человеческой деятельности, наблюдается устойчивая тенденция роста сложности программного обеспечения. Чрезмерная сложность вновь создаваемых программных комплексов, высокая стоимость программ и сравнительно низкий уровень качества их производства не позволяют исключить возможность возникновения ошибок, приводящих к нарушению работоспособности вычислительных средств, снижению их производительности. Следствием этого является отказ, нарушение работоспособности систем, использующих вычислительные средства [8].
Используя термин “надежность программного обеспечения” аналогично понятию “надежность аппаратуры”, необходимо помнить, что “отказы программного обеспечения” в системах, как результат проявления ошибок при его использовании имеют совершенно другую физическую природу, чем отказы техники. Однако, это не может служить причиной невозможности использования терминов и показателей надежности при исследовании качества программного обеспечения [9]. В частности, это оправдывается и необходимостью решения задачи распределения ресурсов или затрат между самими вычислительными средствами и их программным обеспечением при достижении заданного значения показателя надежности. Одним из важнейших общих показателей надежности, представляющих интерес для практики, является вероятность его безошибочного функционирования.
Проверка правильности функционирования разработанного программного обеспечения (корректности, устойчивости) и удовлетворение его требованиям спецификации осуществляется на этапе отладки и тестирования. Как правило, основным фактором отладки является затраченное на нее время. Поэтому в ряде моделей оценивания надежности программ наряду с необходимым временем их функционирования при решении конкретных задач рассматривается и второй временной фактор – время отладки этих программ до использования по назначению.
Для удобства анализа показателей надежности сложных программных комплексов целесообразно представить их в виде совокупности менее сложных компонент, обычно называемых программными модулями. Программный модуль, в свою очередь, может быть разделен на более мелкие части и т.д. Таким образом, программный модуль является аналогом элемента расчета теории надежности. Обычно он представляет собой логически самостоятельную программу и вводится, исходя из соображений исследователя[10].
При исследовании надежности функционирования программного комплекса обычно необходимо решить две задачи. Первая – по заданной структуре комплекса, состоящего из совокупности программных модулей, имеющих показатели надежности, найти показатель надежности программного комплекса. Эту задачу традиционно назовем прямой
.Наряду с первой может решаться вторая задача – достижение максимального (минимального) значения показателя надежности при некоторых ограничениях на ресурсы, в качестве которых выступают время, стоимость и др. Или решается задача минимизации величины ограничения при достижении требуемого (заданного) значения показателя надежности. Любую из этих задач будем называть обратной. Рассмотрим решение этих задач.
Постановка задачи. Дан программный комплекс, состоящий из М отдельных модулей, связанных между собой. По структуре комплекса строится стохастический граф, содержащий М+2 вершин. Вершина О означает исток, а вершина М+1 – сток графа. Каждый модуль инициируется на решение с заданной вероятностью, зависящей
от цели функционирования или значений исходных данных. Прямая задача заключается в нахождении вероятности безошибочного решения задачи программным комплексом, если известны вероятности безошибочных решений задач всех модулей. Обратная задача заключается в том, что необходимо найти максимум вероятности безошибочного решения задачи программным комплексом при известном ограничении на общее время отладки всех программных модулей, а также в определении минимального времени отладки всего программного комплекса при заданной вероятности его безошибочного функционирования.Прямая задача. Воспользуемся методом расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявки в сети массового обслуживания
[ 11] для определения вероятности безошибочного решения задачи сложным программным комплексом, состоящим из совокупности модулей. Предполагаем, что модули статистически независимы.Рассмотрим матрицу
G=G(t), t=(t0, t1, t2,…, tМ+1), элементами которой являются произведения pijPi(tj); i,j – (0,1,2,…,М+1), где pij - вероятность перехода от i-го модуля к j-му, а Pi(tj) - вероятность безошибочного функционирования i-го модуля в течение времени tj.Так как нулевая и (М+1)-я вершины фиктивные, то предполагаем, что время нахождения в них равно нулю, а вероятность безошибочной работы равна единице.Введем понятие шага, понимая под ним единичный переход от одного модуля к другому. Для нахождения вероятности безошибочной работы за два шага нужно просуммировать с соответствующими вероятностями произведения вероятностей по всем путям, содержащим две вершины. Это достигается возведением матрицы
G в квадрат. Возводя матрицу G в куб, получаем вероятности безошибочного функционирования за три шага и т.д. Далее строим матрицу
, (15)
где
I - единичная матрица.Элемент матрицы Т с номером (0, М+1) представляет собой выражение для вероятности безошибочной работы всего программного комплекса с учетом всех возможных последовательных вызовов отдельных модулей.
Вероятность безошибочной работы комплекса будет равна [12],
Y(t) = Q(t) / R(t), (16)
где
Q(t) – алгебраическое дополнение элемента (М+1, 0) матрицы (I-G(t)), а R(t) - ее главный определитель.После выполнения необходимых преобразований получим искомое выражение для вероятности безошибочного функционирования программного комплекса с учетом задействования всех возможных маршрутов вычислений.
Обратная задача. Определим минимальное время отладки программного комплекса при заданной вероятности его безошибочного функционирования
Pзад. Процесс отладки i-го модуля обычно определяется его временем отладки t i. В известных аналитических и эмпирических моделях оценивания надежности программ параметр t i, как и параметр ti - заданное время работы i-го модуля, входит в соответствующее выражение для показателя надежности модуля. При этом предполагается, что оценки искомых показателей являются известными выражениями, определяемыми по результатам испытаний. Подобных моделей известно несколько. В качестве удобного примера, не нарушающего общности подхода, приведем одну из самых ранних моделей – модель Мусы [7].Согласно этой модели, вероятность безошибочной работы
i-го модуля программного комплекса выражается формулой:Pi(ti,
t i) = exp[-l itiexp(-n it i)], (17)где
l i и n i – интенсивности проявления ошибки и устранения ее при отладке программы модуля; ti и t i – времена вычислений и отладки модуля.Обычно используют
l i = 1/Ti, где Ti – начальное среднее время безошибочной работы модуля ;n i = Ki / (NошiTi), Ki – коэффициент сжатия времени отладки (тестирования) по сравнению с временем вычислений, Nошi - предполагаемое первоначальное число ошибок в модуле.Найдем минимальное время отладки
программного комплекса как 
, при котором P(t,t ) і Pзад, предполагая, что
справедливо (17). Решение получим, используя метод
неопределенных множителей Лагранжа [13]. Функция
Лагранжа имеет вид:
,
(18)
где
g - множитель Лагранжа.Дифференцируя (18) по аргументам
t i и g и приравнивая полученные выражения к нулю, получим систему уравнений:
(19)
Решив (19) относительно 
получим: 
Если необходимо определить максимальное значение вероятности безошибочного функционирования программного комплекса при заданном времени его отладки, то необходимо составить функцию Лагранжа в виде
. (20)
Дифференцируя (20) по
t i и g , приравнивая результаты к нулю, получим систему уравнений:
(21)
Решая (21), находим искомые значения
t i, подставляя затем их в выражение для P(t,t ), найдем максимальное значение вероятности безошибочного функционирования программного комплекса.Пример
.1. Пусть требуется найти значение вероятности безошибочного функционирования программного комплекса, стохастический граф которого приведен на рис.2.
Рис.2
Известны
Ki=1, t1=1 c, t2 =7 c, t3=10 c, Nош1=10, Nош2=5, Nош3=3,
=0,01 1/c, 
=0,02 1/c, 
=0,03 1/c, p12=0,7,
p13=0,3, p23=0,6, p24=0,4, p31=0,8,
p34=0,2. Pi(ti,i) оцениваются формулой (17), а М=3.
Матрицы G
и I-G
равны:
G = 
;
(I - G) =
.
Элементы матрицы (
I-G) с номером (0,4) по (16) Y = Q / R, где Q – алгебраическое дополнение элемента (4,0) матрицы (I-G), а R - главный определитель матрицы (I-G). Раскрывая данные определители, получим:Y = P(t,
)=
. (22)
В формуле (22) аргументы
ti и t i для краткости опущены. Подставляя исходные данные в эту формулу, положив t i=0, будем иметь P(t,0)=0,563.2. Пусть задано значение вероятности для программного комплекса
Pзад і 0,999. Требуется найти времена отладок каждого модуля и суммарное минимальное время отладки комплекса. Поступая, как описано в п. ”Обратная задача”, находим:t
1= 3460 с ; t 2= 1871 с ; t 3= 848с ; t = 6179 с.3. Пусть задано время отладки программного комплекса
t зад=6000 с. Требуется найти времена отладок каждого модуля t i и максимальное значение вероятности его безошибочного функционирования при тех же значениях параметров п.1 “Пример”. Получим:t
1= 3327с ; t 2= 1838с ; t 3= 835с ; maxP(t,t )=0,999.Приведенный числовой пример иллюстрирует возможность использования рассмотренных матричных моделей для решения прикладных задач, связанных с анализом надежности программных комплексов и обеспечением требуемых значений показателей их надежности при отладке.
Разработчики программ и лица, выполняющие отладку вновь создаваемых программных комплексов, могут получать временные оценки для выбора оптимальных величин времени отладки программных модулей и комплексов программ в целом. При решении задач обеспечения заданной надежности программного комплекса нетрудно учесть с помощью коэффициентов
Ki квалификацию разработчиков программ конкретных программных модулей.В приведенном методе могут использоваться любые модели роста надежности, получаемые теоретически или на основе экспериментальных данных.
Эффективность функционирования информационных систем, включающих в свой состав человека–оператора или группу операторов (эргатических систем),существенно зависит от работоспособности (надежности) человека-оператора. Надежностные свойства, свойства работоспособности оператора и вообще живых организмов изучены весьма недостаточно. Это обуславливается прежде всего эволюцией развития систем от простых до сложных
[ 14] . Кроме того, недостаточность изучения свойств работоспособности программных комплексов и человека-оператора обусловлена и сложностью процессов, свойственных этим объектам [ 15] , требующей от исследователей построения более утонченных моделей.Каждая из трех компонент информационной системы до использования ее по назначению обязательно проходит начальный этап своего жизненного цикла. Для технических средств это этап приработки. Для программных средств это этап отладки и тестирования. Для живых организмов, в т.ч. и человека оператора, это этап адаптации к будущей деятельности. Он сводится либо к профессиональному обучению определённого вида деятельности, поведению субъекта в определённых условиях, либо к отдыху для восстановления умственной или физической работоспособности, тренировке и т.д. Иначе говоря, оператор обладает боле разнообразной совокупностью свойств, общей характеристикой которых является возможность реакции, научения, адаптации к какому-либо виду его деятельности. Поэтому и отражение свойства безошибочности деятельности оператора с помощью аналитических моделей может быть весьма разнообразным.
Применительно к цели нашего исследования рассмотрим одну из таких моделей, оценивая работоспособности (безотказности) живого организма, вероятностно достаточно близкой к моделям надёжности технических и программных средств [10]. Отличительной особенностью модели является формулировка и описание вероятностного ресурса работоспособности оператора, представленного в виде двух противоположно направленных по действию на показатель его надёжности составляющих. Одну составляющую будем трактовать как расходуемый ресурс [16], а другую - как восполняемый ресурс работоспособности оператора. Рассмотрим простейший случай, когда восполнение ресурса работоспособности предшествует его расходу. На наш взгляд, данная ситуация достаточно характерна для многих видов деятельности живых организмов. Хотя на практике имеет место и другая ситуация, когда восполнение ресурса работоспособности
производится периодически или непрерывно в процессе профессиональной деятельности оператора. В последнем случае требуется построение более сложной модели работоспособности оператора по сравнению с рассматриваемой здесь.Управляемая интенсивность отказа. Будем исходить из предпосылки о том, что процесс обучения (в общем процесс адаптации к будущей профессиональной деятельности) оператора снижает возможность проявления им ошибок в будущем. Количественно это определим вероятностью предотвращения отказа оператора в процессе его профессиональной деятельности за время
t. Предполагаем, что оператор обучался этой деятельности в течение времени t в условиях x , при этом промежуток времени t предшествовал промежутку времени t. Обозначим указанную вероятность Ру(t,x ). Из физических соображений следует, что данная вероятность должна быть тем меньше, чем больше промежуток времени t и чем жёстче комплекс условий обучения x .В общем случае будем считать, что оператор и в процессе обучения, как и в процессе основной деятельности, может утрачивать свою работоспособность. Поэтому условная вероятность успешной деятельности оператора за время
t при условии, что в течение времени t он обучался в условиях x будет равна
, (23)
где Р
(x(t),e) - безусловная вероятность успешной деятельности оператора в условиях e . Величина х(t ) есть время работоспособности оператора в условиях e , эквивалентное по расходу ресурса работоспособности оператора за время t в условиях x . Эквивалентность может определяться на основе некоторой известной модели пересчёта величины ресурса, например [16]. Если х(t )=0, то при t=0 оператор полностью работоспособен после окончания процесса обучения (новый оператор). При этом кривая интенсивности его отказа будет сдвинута относительно первоначальной кривой вправо по оси времени на величину t . Сама форма кривой интенсивности не изменяется. Если х(t )=t , то при t=0 оператор остаётся работоспособным, но его интенсивность отказа в момент t=0 равна интенсивности отказа в момент t (старый оператор) [17]. Сдвига кривой интенсивности вправо не происходит. В случае частичной утраты оператором работоспособности осуществляется сдвиг кривой интенсивности вправо на величину х(t ), 0<х(t )<t .Из (23) следует выражение для интенсивности отказа
. (24)
Таким образом, принцип построения интенсивности (24) формально сводится к уменьшению безусловной интенсивности отказа оператора в Ру
(t , x) раз и сдвигу её кривой вправо на величину х(t ), что отражает процессы обучения и обновления, свойственные операторской деятельности. Поэтому формально интенсивность отказа (ошибки) оператора имеет вид:
. (25)
Если (25) рассматривать как ведущую функцию потока отказов на оси времени, то соответствующий случайный процесс типа восстановления можно отнести к классу нестационарных квазипуассоновских индекса
t процессов [18]. На наш взгляд, предлагаемый нами подход позволяет строить управляемые случайные процессы достаточно простым образом. В ряде случаев он может эффективно использоваться наряду с управляемыми полумарковскими процессами [19]. Однако определять некоторые характеристики, например плотность и функцию восстановления, для подобных процессов весьма не просто.В дальнейшем ограничимся рассмотрением самого простого случая, когда оператор после обучения становится полностью обновлённым. Кроме того, если
l (t,e )=l (e )=const, то предыстория процесса до t=0 не оказывает влияния на его дальнейшее поведение, но интенсивность отказа по-прежнему будет уменьшаться в Ру(t ,x) раз.Управляющая функция интенсивности
. Назовём вероятность Ру(t ,x) управляющей функцией интенсивности отказа оператора. Рассмотрим принцип её построения. Предположим, что оператор до начала функционирования обучался в течение времени t в условиях x . Используем ансамблевую модель испытаний.Пусть на испытание поставлено
N0 однородных в статистическом смысле операторов, ошибки в работе которых могут быть устранены.За время
t наблюдаются ошибки у п(t ) операторов. Число работоспособных операторов будет равно N0-п(t ). Вероятность безошибочного функционирования оператора при испытаниях Ру(t )=1- п(t )/N0. Интенсивность наступления ошибки оператора равна
. (26)
Решая дифференциальное уравнение (26) при начальном условии Ру(0)=1 с учётом комплекса условий
x получим
. (27)
Это выражение означает вероятность непроявления (невозникновения) ошибки оператора, которая может привести к его отказу в будущем, за время обучения
t в условиях x . Формула (27) получена по аналогии с [20], но здесь интенсивность ошибки определяется не как абсолютная скорость её выявления и устранения, а относительная. Она определяется как отношение числа выявленных на малом интервале времени ошибок (отказавших операторов) за единицу времени к среднему числу операторов, оставшихся работоспособными к моменту времени t . Иначе говоря, интенсивность проявления ошибки определяется также, как и интенсивность отказа объекта в теории надёжности [21]. Такой ансамблевый подход, по нашему мнению, более объективен, так как конечное выражение для вероятности не связывается с числом объектов N0 (ошибок), первоначально поставленных на испытание. Качество обучения определяется лишь вероятностью, зависящей от длительности обучения t и комплекса условий x . В моделях надёжности программных средств число N0 фиксируется при проведении исследований, затем величина его оценивается по статистическим данным на основе метода максимального правдоподобия. Полученная оценка используется в дальнейших расчётах. Это создаёт дополнительное неудобство при получении конечных результатов, но подобный механизм оценивания надёжности неизбежен при малом числе ошибок. Мы же этим пренебрегаем, но получаем выражение показателя в более компактном виде. В нашем случае величина N0 нужна лишь только для обоснования нахождения вероятности Ру(t ,x ). Сущность управляющей функции заключаются в том, что относительное потенциальное число ошибок (точнее вероятность ошибок) оператора в будущей деятельности уменьшается в Ру(t ,x ) раз.Ресурс работоспособности оператора
. В соответствии с допущением о полном обновлении (восстановлении) оператора после обучения вероятность его успешного функционирования за время t будет равна:
. (28)
По аналогии с понятием ресурса надёжности в [16] назовём показатель первой экспоненты ресурсом работоспособности (надёжности) оператора
, (29)
в котором 
-
выработанный ресурс работоспособности за время
назовём
восполненным ресурсом работоспособности,
полученным оператором в процессе его обучения
профессиональной деятельности за время t в условиях x . В
принятых обозначениях (28) и (29) можно представить:
, (30)
. (31)
С помощью этих выражений можно утверждать, что работоспособность (надёжность) оператора зависит от величины ресурса работоспособности. Она будет тем меньше, чем больше выработанный ресурс
r, и, тем больше, чем больше восполненный ресурс q .Сформулируем утверждение для оператора, чисто формально аналогичное физическому принципу Н.М.Седякина для технических систем [16]: работоспособность оператора в будущем зависит от величины ресурса работоспособности
R(r,q ), но не зависит от того, как он получен (данное утверждение оправдывается лишь простотой математического представления изучаемого процесса). В математическом виде это означает:
(32)
при условии
. (33)
Или, в зависимости, от ресурсов
при условии, что 
. (34)
Примеры
.1. Рассмотрим простейший случай, когда
l (t,e )= l (e ); n(t,x)=n(x). Тогда вероятность
. (35)
При этом (32), в частности, выполняется, если
l 1t1=l 2t2 и n 1t1=n 2t2, где l 1=l (x 1), l 2=l (x 2), n 1=n (x 1), n 2=n (x 2).2.Поставим задачу определения интенсивности отказа в условиях
e0, если известна его интенсивность отказа в условиях
, >e 0, q 1№ q 2. Рассмотрим
простейшую, линейную модель форсированных
испытаний. Согласно [22] запишем систему уравнений
(36)
где
e 0, e 0+D e - постоянные скорости изменения определяющего параметра оператора; t, x(t) - времена достижения параметром границы работоспособности при данных скоростях.Система (36) сводится к
дифференциальному уравнению в частных
производных, решение которого при начальной
кривой 
имеет вид
. (37)
Из выражения (37) следует, что прогностическое значение интенсивности отказа оператора в нормальном режиме испытаний
e 0 относительно форсированного режимапо сравнению с
приведённым в [22] дополнительно изменяется в 
раз. При этом, чем больше
восполненный ресурс q 2 по
сравнению с q 1, тем ниже интенсивность отказа
в нормальном режиме. Коэффициент 
можно рассматривать как
коэффициент ускорения испытаний. В данном случае
он будет тем больше, чем жёстче режим
форсирования , и больше
восполненный ресурс q 2.
3. Пусть требуется на интервале времени 0, t+
t обеспечить вероятность успешного функционирования оператора не ниже заданного значения Рз, т.е.
. (38)
Требуется определить продолжительность обучения оператора
t в заданных условиях x , чтобы условие (38) выполнялось. Раскрывая его относительно переменной t , получим
, (39)
при этом должно выполняться условие Рз
>e-r. Так, если r=l t=0,01Ч 10=0,1; n =0,2 1/ч, то для Рз=0,95 t і 5Ч ln2=3,464.4. Интенсивность отказа оператора в некоторых условиях функционирования постоянна и равна 0,1 1/ч, т.е. в среднем он делает одну ошибку за 10 часов работы. Требуется уменьшить интенсивность отказа оператора в 10 раз, т.е. она должна быть 0,01 1/ч. Как организовать его обучение?
Из формулы (35) следует, что если
e-n t=0,1, тогда t =
ln10» Ч 2,3.
Жёсткость режима тренировки оператора должна
соответствовать данным таблицы.
t, ч |
1 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
100 |
n , 1/ч |
2,3 |
1,15 |
0,58 |
0,38 |
0,29 |
0,23 |
0,04 |
1/ n , ч |
0,43 |
0,87 |
1,72 |
2,63 |
3,44 |
4,34 |
23,2 |
Например, если среднее время между проявлениями ошибок оператора равно 4,34 ч, то необходимое время тренировки составит 10 ч.
Данные элементарные примеры лишь указывают на возможность практического использования предложенной модели для производства ориентировочных расчетов.
В заключение отметим, что предложена простейшая модель количественного оценивания работоспособности оператора. Она отличается от модели надежности технических и программных средств учетом процесса адаптации к будущей профессиональной деятельности оператора в форме его обучения или тренировки.
Сформулировано понятие ресурса работоспособности оператора, представленного двумя составляющими: выработанным в процессе функционирования ресурсом и восполненным в процессе обучения ресурсом. Рассмотрено построение управляющей функции для интенсивности отказа оператора как функции восполнения ресурса работоспособности.
Замечание. Покажем, что формула (28) может быть получена на основе испытаний однотипных операторов и является приближенной. Пусть испытывается одновременно
N0 операторов. Все они прошли обучение в течение времени t в условиях x , в результате которого вероятность отказа каждого уменьшена в R ( t , x ) раз. Найдем интенсивность отказа оператора, прошедшего обучение, как функцию безошибочного его функционирования за время t.Среднестатистическая интенсивность отказа определится как
, (40)
где п
(t, Dt) - число отказавших операторов на интервале (t, t+D t), N(t) - число операторов, работоспособных в момент времени t.С учётом процесса обучения представим (40) в виде:
, (41)
где п
(t) - число отказавших операторов за время t, при условии, что обучение не проводилось. Устремляя D t® 0, будем иметь
. (42)
Решая дифференциальное уравнение (42) при условии п(0)=0, получим
. (43)
Аналогичным образом найдём величину п
(t) при условии, что совокупность операторов не обучалась, тогда будем иметь
. (44)
Приравнивая (43) и (44), найдём функцию
L 0(t):
. (45)
Для высоконадёжных операторов можно принять
, (46)
что и подтверждает справедливость формулы (25). В формулах (40)-(46) аргумент режима функционирования оператора
e для краткости опущен.Формула (46) может быть получена на основе равенства
. (47)
Из (47), при условии высокой надёжности оператора, получим выражение (30):
.
4. Модели оценивания надежности элементов на основе форсирования испытаний
Темп роста сложности аппаратуры информационных систем в настоящее время преобладает над темпом увеличения надежности ее элементов. В частности, для персональных электронных вычислительных машин (ПЭВМ) проблемой номер один по-прежнему остается проблема обеспечения их безотказности, так как с дальнейшим увеличением парка ПЭВМ на их ремонт будут тратиться огромные средства.
Успехи технологии современного производства элементов аппаратуры позволили повысить их надежность. Поэтому определение показателей надежности элементов в нормальных режимах эксплуатации становится экономически невыгодным. Практически единственным путем решения задачи оценивания надежности элементов информационных систем остается традиционный способ форсированных испытаний.
Методам форсированных испытаний посвящено довольно большое число работ. Интерес к этим работам особенно усилился в 70-е годы, когда профессор Н.М.Седякин сформулировал физический принцип теории надежности [16]. На наш взгляд, возможности предложенного им метода огромны и в практике испытаний далеко не исчерпаны. За последнее время в сфере производства на основе экспериментальных исследований установлены различные аппроксимационные зависимости изменения параметров элементов, определяющих их работоспособность во времени [23]. При этом в качестве воздействующих факторов выступают различные физические величины. Эти зависимости могут успешно использоваться в качестве уравнений связи для определения вероятностно-статистических данных об отказах элементов аппаратуры в произвольных режимах нагружения. Следовательно, полученные результаты могут быть использованы и для оценивания (прогнозирования) надежности элементов аппаратуры в нормальных условиях эксплуатации.
В настоящем разделе продолжено развитие работы [24]. Однако здесь рассматривается не энергетический, а параметрический запас прочности изделия. Изучаются различные выражения для уравнения связи ресурса надежности элемента. На основе их и равенства ресурсов в соответствие с принципом Н.М.Седякина получены дифференциальные уравнения для определения интенсивностей отказов элементов в произвольных режимах нагружения. Результаты решений уравнений могут использоваться на практике в задачах оценивания показателей надежности различных элементов. Рассмотрим некоторые модели прогнозирования надежности.
1.
Простейшая линейная модель. В отличие от [24] под фактором нагружения e будем понимать не мощность разрушения элемента, а скорость утраты его работоспособности. Тогда e t (где t - время ) означает не энергию прочности, а запас допустимой работоспособности элемента D .Пусть
e + D e - скорость утраты работоспособности элемента в форсированном на величину D e режиме, а x(t) - время утраты его работоспособности, тогда (при условии отсутствия дефекта прочности):D
= x( t) Ч ( e + D e ) = e t. (48)Полагая, что справедлив метод равных вероятностей [25], имеем
, (49)
где
l (z,e + D e ) , l ( z, e ) - интенсивности отказа элемента в указанных двух режимах нагружения.Величина (49) означает величину вероятностного ресурса надежности элемента [16].
Для удобства совместного решения (48) и (49) используем формулу Тейлора:
x(t) = t + t’(t,
e )Ч D e , (50)где
t’(e ,t) - производная поe от времени утраты работоспособности элемента в режиме e . Решая (48) и (50) совместно, получим
(t,e ) = -t
/ e , а
из (49) и (50)
. (51)
Решение уравнения (51) при начальном условии
l ( t, e 0 ) получим в виде
. (52)
где
e 0 - нормальный режим нагружения элемента.Это выражение (52) в теории надежности известно, оно справедливо при линейной зависимости случайной величины времени работоспособности элемента от величины нагрузки.
2.
Модель с переменной скоростью. Данная модель соответствует механизму деградации работоспособности пленочных резисторов [23]. Уравнение связи, описывающее изменение величины относительного сопротивления резистора, имеет вид
, (53)
где
a0,a1 – постоянные величины. В качестве фактора нагружения рассматривалась величина температуры резистора e = T.Из (53) видно, что скорость утраты работоспособности резистора зависит от времени, а именно убывает со временем. Выражение для интенсивности отказа резистора будет иметь вид:
. (54)
Формула (54) отличается от формулы (52) только квадратичной формой коэффициента пропорциональности. По существу, данная модель, как и первая, является линейной.
3.
Модель с трансцендентной формой фактора нагружения. Время до отказа тонкопленочных алюминиевых соединений в транзисторах определяется зависимостью [23]:
, (55)
где
t 0 - константа, Еэф – эффективная энергия активации, k – постоянная Больцмана, Тэ – температура эксплуатации проводника.Соответствующее уравнение связи имеет вид:
. (56)
Решая (49) и (50)совместно, получим:
, (57)
где Тэ – температура в некотором известном режиме эксплуатации; а
= Еэф / k.Из (57) следует, что вид распределения времени до отказа элемента не зависит от величины нагрузки. Данная модель, как и предыдущая, сохраняет свойство линейности.
4.
Простейшая нелинейная модель. Предполагаем, что скорости утраты работоспособности элемента в двух режимах нагружения равны e и e + a Ч tЧ D e ,( a - коэффициент пропорциональности ). На наш взгляд, это соответствует нарушению принципа автомодельности отказа элемента. Соответствующее уравнение связи равно:
(58)
Решая (49) и (58) совместно, получаем дифференциальное уравнение:
(59)
Решение (59) при начальной кривой
l ( t, e 0 ) приводит к зависимости
(60)
Предположим, что
l ( t, e 0 ) = l ( e 0 ) , то есть начальная интенсивность отказа не зависит от времени. При e № e 0 интенсивность отказа элемента будет функцией времени. Это означает, что форсирование нагрузки на элемент приводит к изменению вида закона распределения времени до его отказа. Таким образом, данная модель является существенно нелинейной. Это связано с изменением механизма утраты работоспособности элемента при достижении некоторого порогового уровня величины нагрузки.Если исследователя интересует переход от условий форсированного нагружения к условиям нормального нагружения, то из (60) следует:
(61)
Анализируя свойства данной модели, приходим к выводу, что инвариантность распределения времени до отказа элемента нарушается при изменении режима его форсирования только в том случае, когда скорости утраты работоспособности элемента в двух различных режимах нагружения представляются различными, не являющимися математически подобными функциями.
Если метод равных вероятностей в соответствии с принципом Н.М.Седякина справедлив, то вид уравнения связи в модели прогнозирования показателя надежности является определяющим. Естественно поставить следующий вопрос. Какова должна быть общая форма уравнения связи, удовлетворяющая необходимому и достаточному условию, чтобы закон распределения времени до отказа элемента не был инвариантным к величине нагрузки? Ответ на этот вопрос позволит отделить класс линейных от класса нелинейных моделей прогнозирования, перейти к исследованию наиболее важных для практики нелинейных моделей. Пока этот вопрос остается нерешенным.
Для иллюстрации работоспособности модели рассмотрим пример. Установлены следующие значения параметров:
a=0.01, e / e0=10.Для форсированного режима испытаний получена кривая 1 на рис.3.
Рис.3
Требуется построить кривую интенсивности отказа элемента в нормальном режиме эксплуатации
e 0 . На основании расчетов по формуле (61) построены кривые 2 и 3 для значений a =0.01;0;1, характеризующие меру воздействия временного фактора при форсировании величины нагрузки на элемент. На рисунке видна спрямляемость кривых 2, 3 по отношению к кривой 1. Это подтверждает изменчивость закона распределения до отказа элемента в зависимости от величины нагрузки.5.
Линейная модель с двумя факторами воздействия.Предположим что на элемент одновременно могут действовать два фактора нагрузки
e 1 и e 2, известна начальная кривая интенсивности его отказа при фиксированных значениях факторов
. Требуется построить зависимость
интенсивности отказа элемента при произвольных e 1 и e 2.
В простейшем случае в соответствии с электрическими зависимостями, приведенными в [23], можно записать:
(62)
где
t 0 - коэффициент пропорциональности; f - функция, определяющая скорость утраты работоспособности элемента в режимах (e 1,e 2) и (e 1+D e 1,e 2+D e 2). Из (62) получим уравнение связи:
(63)
где 
-производная
от
Решая (49) и (63) совместно, получим дифференциальное уравнение
(64)
которое сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
a
d e 1=b d e 2=d t /t =–d l /l , где a =a (e 1,e 2); b =b (e 1,e 2); l =l (e 1,e 2,t ).Решение последней системы уравнений с начальной кривой
l (e 1,e 2,t ) приводит к выражению
(65)
В (65) интегралы берутся по переменным
e 1,e 2 и вычисляются при значениях, указанных у вертикальной черты.Рассмотрим пример. Вернемся к модели 3. Обозначим
e 1=Eэф=Tэ. Тогда
Выполнив интегрирование ,
как показано в (65) , окончательно получим
, (66)
где
Выражение (66) отличается от выражения (57) только новой независимой переменной Еэф
и ее начальным значением
.Это
свидетельствует о корректности решения
уравнения (64).Решение (57) – лишь частный случай (66).
Нами рассмотрены четыре линейных и одна нелинейная модель прогнозирования надежности элемента на основе форсирования режима испытаний. Из-за большей наглядности, простоты анализа и очевидной связи с понятием ресурса надежности Н.М.Седякина использовалась интенсивность отказа элемента. Другие показатели ,как вероятность безотказной роботы ,плотность вероятности и др., легко могут быть получены при известной интенсивности отказа .Приведенные модели успешно могут применятся на практике.
Развитый здесь метод можно использовать и при оценке величин гамма–процентного ресурса и остаточного гамма-процентного ресурса ,как это делается в работе [26]. В дальнейшем идея метода может развиваться в следующих направлениях:
- построение моделей прогнозирования надежности при несоблюдении механизма автомодельности отказов элементов (нелинейных моделей);
- построение моделей прогнозирования надежности элементов при условии нарушения принципа Н.М.Седякина (моделей с утратой запаса прочности элементов при их нагружении);
- построение моделей прогнозирования работоспособности человека-оператора при воздействии различных внешних факторов (в связи с развитием теории человеко-машинных, информационных систем интерес к ним возрастает). Конечно, в последнем случае, понятие статистического ресурса – аналога ресурса Н.М.Седякина – должно быть уточнено. В п.3 применительно к человеку-оператору нами использовалось
понятие ресурса только то, которое было сформулировано Н.М.Седякиным. Однако, физико-вероятностная идея использования уравнений в частных производных в дальнейшем может оказаться весьма плодотворной.В п.4 мы рассмотрели простейшую нелинейную модель 4. Она характеризуется наличием ускорения фактора форсирования нагрузки. Рассмотрен самый простейший случай постоянного ускорения
a . Сделан вывод о нарушении инвариантности вида закона распределения в зависимости от величины нагрузки. В данном п.5 мы сделаем попытку получить более общий результат, приводящий к нарушению инвариантности вида распределения. Но сначала обратимся к краткой характеристике двух основных физических моделей.В теории надежности технических систем широко известны физические модели: модель Майнера-Палмгрена (аддитивного накопления повреждений) и модель Н.М. Седякина (физический принцип надежности). Они послужили источником многих работ в области форсированных испытаний, наиболее значимыми из которых являются работы Г.Д. Карташова и А.И. Перроте.
Следует отметить, что если пределы первой модели достаточно четко определены, то пределы применимости принципа Н.М. Седякина до сих пор неизвестны[27]. Следует ожидать, что, чем более жесткому режиму нагружения подвергается элемент, тем за определенный интервал времени он выработает не только больший ресурс в понятии Н.М. Седякина, но и утратит бесполезно часть своего ресурса. Это объясняется более грубым разрушением структуры элемента при более жестком режиме нагружения. Однако, здесь это обстоятельство затрагивать не будем из-за неумения пока разрешить его в количественном виде.
Если обратиться к различным источникам, посвященным изучению физического принципа Н.М. Седякина, то можно заметить, что почти все они рассматривают нагрузку на элемент либо постоянную, либо кусочно-постоянную и ступенчатую. Результатом исследований в этих источниках является вывод о том, что для двух различных режимов в классе допустимых режимов функции распределения времени жизни элемента до отказа одинаковы.
Здесь мы получим, предполагая, что принцип Н.М. Седякина справедлив, необходимое условие того, чтобы распределения времени до отказа элемента в двух различных режимах нагружения были бы различными.
Рассмотрим два режима испытаний
X ф(t), X о(t), в общем случае являющиеся зависимыми от времени. Отказ элемента наступает в результате достижения допусковой границы определяющим параметром элемента. Обозначим e ф(t), e о(t) – скорости изменения величины определяющего параметра в указанных режимах.В соответствии с работами [16,22,24] запишем систему уравнений
(67)
где 
–
скорости расхода ресурса элемента в режимах
Из второго уравнения (67) найдем
. (68)
Дифференцируя первое уравнение (67) по
t и подставляя в него (68), получим
, (69)
где 
–
обратная функция связи (пересчета).
Из (69) следует, что, если отношение 
не зависит от времени
, (70)
полученное в [22,24].Если же данное отношение является функцией времени, т.е. по крайней мере одна из скоростей
e ф(t), e о(t) является функцией времени, то инвариантность распределения при форсировании нагрузки нарушается. Изменение же скорости во времени означает, что процессу изменения определяющего параметра свойственно наличие ускорения. Но это не означает, что режимы испытаний должны обязательно изменятся во времени. Ускорение может быть присуще параметру и при постоянной нагрузке.Пример. В двух режимах испытаний
наблюдались значения скоростей изменения
определяющего параметра элемента:
, где
Второе уравнение (67) в данном случае примет вид
(71)
. (72)
Подставляя 
в
(69), получим
(73)
В простейшем случае, когда в режиме
X о(t) наблюдается экспоненциальный закон распределения времени до отказа, тогда в режиме X ф(t) наблюдается сумма экспоненциального закона и закона Релея (сумма интенсивностей). Если нас интересует пересчет от форсированного режима к нормальному, тогда из (73) получаем
. (74)
Из приведенных соотношений нетрудно заметить, что наличие разных ускорений изменения параметра элемента в двух режимах испытаний не изменяет полученного вывода о несовпадении рассматриваемых распределений во времени до отказа элемента.
Если ускорение изменения определяющего параметра элемента обуславливается ускорением процесса деградации свойств элемента под воздействием нагрузки, то можно сделать вывод о том, что ускорение деградации свойств элемента является необходимым условием нарушения инвариантности вида распределения времени до отказа элемента.
.
Только подписка гарантирует Вам оперативное получение информации о новинках данного раздела
Нужное: Услуги нянь Коллекционные куклы Уборка, мытье окон
