9. Элементарные модели вероятностного анализа комплексной переменной
Во многих научных задачах прикладного характера широко используется математический аппарат теории вероятностей вещественного переменного. При этом рассматриваются как простые, так и векторные случайные величины. Функции распределения этих величин являются вещественными функциями. Компоненты случайных векторов, как правило, представляются вещественными величинами [41].
Известно, что введение комплексной
переменной привело к важным открытиям в
математике. Многие теоремы современного анализа
оказываются неверными, когда ограничиваются
рассмотрением действительных чисел [42]. Введение
поля комплексных чисел (z = x+iy, где i= – мнимая единица) как коммутативной
алгебры с делением ранга два над полем
действительных чисел привело к существенному
расширению математического описания различных
физических процессов, позволило получить
глубокие теоретические результаты при изучении
свойств безгранично делимых законов
распределения [43] и в некоторых других прикладных
областях математики. Так, например, эффективным
методом решения задач теории массового
обслуживания, теории надежности явился метод
“комплексных вероятностей” Кокса [44],
предполагающий использование фиктивных этапов,
фаз случайного процесса, описываемых
комплексными величинами. При этом вероятности
состояний остаются реальными. Применив этот
метод, можно охватить случаи, когда плотность
вероятности аппроксимируется суммой экспонент с
полиномиальными множителями [45]. В статье [40]
получено разложение произвольной гладкой
плотности вероятности на сумму экспоненциальных
плотностей с комплексными параметрами и
коэффициентами. Дальнейшее развитие и
применение идеи [40] приведено в монографиях [37, 46]
и в ряде статей.
Расширением комплексных чисел является поле кватернионов Гамильтона, образующих некоммутативную алгебру с делением над полем действительных чисел. При этом каждый кватернион может быть представлен в виде
,
где –
действительные числа,
Использование кватернионов и комплексных чисел в теории вероятностей для описания многомерных случайных процессов и решения научно-технических задач, по нашему мнению, имеет большие перспективы и требует широкого изучения. Поэтому мы обращаем внимание исследователей на существо предлагаемого формального подхода и построение элементарного вероятностного анализа комплексной переменной, рассмотрения его отдельных конструкций и примеров прикладного характера [51,52].
Распределение случайного вектора на
комплексной плоскости. Дан вектор на плоскости (1,
Введём понятие дельта-функции Дирака
на плоскости , где
– комплексные переменная
и число соответственно. Тогда на основании
правила нахождения плотности вероятности с
помощью
-функции [41]
имеем:
(133)
Преобразование Лапласа данной плотности
(134)
где *, s – символ и переменная преобразования Лапласа.
Используя (134) и правило нахождения начальных моментов (предполагая, что они существуют) получим моменты случайного вектора
Z:;
и т.д. (135)
В общем случае момент i-го порядка находиться символически по формуле биномиального разложения
, (136)
при этом вместо степени, в которую возводиться любой из сомножителей при разложении, в верхних скобках необходимо записывать соответствующий номер момента.
Вычислим дисперсию и коэффициент вариации вектора
Z:, (137)
. (138)
Заметим из (138), что если
,
то
,
если
,
то
.
Функция и дополнительная функция распределения, согласно правилу интегрирования аналитических функций [47], равны:
,
. (139)
Из первой формулы (139) получаем:
, (140)
где – функции
распределения случайных величин
Таким образом, формально получаем вероятностное распределение случайного вектора, вещественные компоненты которого заданы своими распределениями. Отличием данной формализации от общепринятой для случайного вектора [41, 43] является то, что каждой компоненте вектора приписан свой вес, а именно величине
X – вещественная единица, а величине Y – мнимая единицаАналогичные (133)-(140) результаты можно получить, если использовать понятие характеристической функции
. (141)
Действительно, характеристическая функция случайного вектора
будет равна
. (142)
В формуле (142) использована теорема о
том, что если случайную величину умножить на
постоянную величину ,
то аргумент характеристической функции
необходимо умножить на эту постоянную. Формально
выражения (134) и (142) совпадают. Найдём из (142),
например, первые четыре начальных момента
случайного вектора
,
,
,
, (143)
где число штрихов означает номер производной от характеристической функции по
t. Нетрудно убедиться, что выражения для моментов, полученные из (142), совпадают с (135) и (136).Выражение (142) удобно использовать для нахождения семиинвариантов
Ck случайного вектора Z:, k=0,
1, 2, ..., (144)
где
,
.
Здесь
ik – k-ая степень i, а индекс k у функции есть k-я производная логарифма характеристической функции. Из выражения (144) получаем значения семиинвариантов случайного вектора Z:;
;
; (1.45)
и т.д.
Из приведенных формул следует, что случайный вектор
Z, плотность вероятности случайного вектораПримеры распределения комплексной переменной. В приводимых примерах компоненты
X, Y полагаются независимыми.Пример 1. Найти плотность
вероятности случайного вектора , если заданы плотности вероятности
;
;
. (146)
Из формулы (133) получаем
. (147)
Следует учесть в (147), что . Результат для
нетрудно подтвердить, используя
характеристическую функцию вектора
. (148)
Пример 2. Найти плотность
вероятности величины при
тех же распределениях
, (149)
при этом
,
но случайная величина Z не имеет моментов.
Пример 3. Найти плотность
вероятности величины при
тех же распределениях
. (150)
Пример 4. Плотность вероятности
величины при тех же
экспоненциальных распределениях
. (151)
Пример
5. Плотность вероятности для функции. (152)
Пример 6. Найти плотность
вероятности случайного вектора , если
,
. (153)
Из (133) получаем
, (154)
где . Из (154)
следует, что суммирование случайных величин
Если рассмотреть усечённые нормальные плотности для
X и Y на полуоси [0, Ґ ), тогда получаем, (155)
где С – постоянная величина.
Пример 7. Найти плотность
вероятности случайного вектора , если плотности вероятности
,
,
,
(156)
Для решения данного примера применение (133) более затруднительно, чем применение метода характеристической функции [41]. В терминах характеристической функции будем иметь:
.
(157)
Для получения (157) использована формула
, (158)
вертикальные скобки означают модуль заключенной в них величины.
Если при случайных величинах
X и Y вектора Z отсутствуют весовые коэффициенты 1, i, то плотность вероятности суммы представляют собой трапецию, большее основание которой расположено на оси абсцисс симметрично относительно начала координат [41]. В нашем случае (157) область задания величины случайного вектора представляет собой прямоугольник на комплексной плоскости, а значение плотностиПример 8. Поставим вопрос о нахождении распределения случайной величины
,
,
(159)
Используя (133), имеем
. (160)
Строго соотношение (160) доказать не удается. Можно лишь утверждать, что оно верно с точностью до модуля
|z|. При этом мы приняли соглашения, что;
.
Воспользуемся характеристической функцией (142), тогда будем иметь
. (161)
Рассмотрим показатель
. (162)
Исходя из того, что
,
,
получаем
. (163)
Поскольку
,
,
а
,
,
находим
, (164)
что соответствует
. (165)
Отсюда можно заключить, что если наше приближение с точностью до модуля справедливо, тогда распределение случайного дискретного вектора инвариантно по отношению к распределению Пуассона для слагаемых [43].
Простейшие примеры прикладного характера.
Пример 1. Случайный вектор
Z, величина которого распределена на плоскости (1, i) с функцией распределения, (166)
где
.
Дифференцируя (166) по
и приравнивая к нулю получим
, (167)
проекции вектора
на соответствующие оси равны:
;
;
;
. (168)
Заметим, что для увеличения точности решения данной задачи следует минимизировать не величину (166), а величину
. (169)
Пример 2. На плоскости наблюдается альтернирующий процесс
восстановления с плотностями вероятности
длительностей импульсов и пауз
и
, (170)
где –
изображение вероятности, символ и переменная
Лапласа.
При
s ® 0 из (170) найдем значение искомой вероятности. (171)
Найденная вероятность представляет
собой комплексную величину, имеющую модуль
(амплитуду) и угол сдвига (фазу) . Физическая интерпретация
комплексной вероятности в данном случае
тривиальна. Когда
,
получим обычную вещественную вероятность.
Данный пример указывает на возможность
построения теории восстановления на плоскости
[18].
Пример 3.Для многих прикладных задач современной теории эффективности часто возникает необходимость в определении функции распределения супериндикаторов
W1 и W2 [49]. На плоскости
и
своими плотностями вероятности
.
Положим, что компоненты обоих векторов распределены по экспоненциальным законам на полуоси
.
Тогда (в обозначениях [49])
, (172)
, (173)
, (174)
где
,
тогда
.
Поэтому окончательно
. (175)
В данном случае аргумент и функция
являются
комплексной величиной и функцией комплексной
переменной. Этот пример показывает применимость
вероятностного анализа комплексной переменной к
нахождению функции распределения
супериндикатора, используемого в теории
эффективности [49], но рассматриваемого на
комплексной плоскости.
Пример 4. На плоскости задана прямая . Из начала координат (0, 0)
может двигаться точка с шагом единичной длины в
направлении оси
Рассмотрим траектории с фиксированным числом шагов по оси
x–3–k, по оси y–k. Соответствующий случайный вектор этих траекторий описывается комплексной переменной z = (3–k)+ik. Очевидно, что вероятность наблюдения вектора z будет равна. (176)
Найдем начальные моменты случайной величины z:
где
D – область возможного суммирования. В результате вычисления, например, получим:.
Коэффициент вариации достигает максимального значения
при
и будет равен
Несколько усложним данную задачу. Пусть х
+ iy = n, где n – произвольное целое число. Тогда. (177)
При больших
n. (178)
Совместное использование (177)и (178) приводит к приближенному выражению для плотности вероятности случайной величины
z, (179)
из которой найдем
. (180)
При получим
. Асимптотическое
значение
из (180) при
Данный пример демонстрирует возможность применения вероятностного анализа комплексной переменной к задачам случайного блуждания [50].
В качестве заключения отметим, что при действиях с векторными случайными величинами на комплексной плоскости предлагается каждой вещественной компоненте вектора приписывать свой весовой коэффициент принадлежности к оси: вещественную или мнимую единицу. В вероятностном анализе одной вещественной переменной это выполняется всегда. Однако, в векторном вероятностном анализе, как правило, компоненты вектора рассматриваются с соответствующими весовыми коэффициентами лишь в самых простейших случаях (например, при определении математического ожидания [41]). При этом вероятностная мера всегда рассматривается только как вещественная величина. Предложенный подход отличается тем, что вероятностная мера рассматривается как функция комплексной переменной, имеющая действительную и мнимую части. Заметим, что данное обстоятельство затрудняет восприятие вероятности такого типа и её интерпретацию.
Введена дельта-функция на комплексной плоскости. Она использована для нахождения плотностей вероятности случайного вектора и элементарных аналитических функций комплексной переменной. Корректность выводов подтверждена использованием характеристической функции случайного вектора. Приведены примеры плотностей вероятности комплексной переменной. При этом компоненты случайного вектора-аргумента независимы, непрерывны либо дискретны.
Рассмотренные примеры прикладного характера, на наш взгляд, показывают практическую значимость вероятностного анализа комплексной переменной.
Следует особо отметить, что вопросы об однозначности вероятностной меры в связи с монотонностью аналитических функций и о представлении меры в пространстве требуют дальнейшего изучения.
50.Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. – М.: МИР, 1969. – 472 с.
51. Гаценко О.Ю., Смагин В.А. Элементы вероятностного анализа комплексной переменной. – СПб., 1998. – 18 с.
52. Смагин В.А. Вероятностный анализ комплексной переменной // АВТ. – 1999. - № 2. – С.3-13.
P.S. "Компания открытых систем" приглашает всех заинтересованных лиц ( математиков, научных работников, проектировщиков программных комплексов и др.) дать свои комментарии по поводу данной книги господина В.А. Смагина и прислать их на наш email: Sirine@mail.ru или непосредственно автору va_smagin@mail.ru. Наиболее интересные статьи, комментарии, высказывания обязательно будут опубликованы.
.
Только подписка гарантирует Вам оперативное получение информации о новинках данного раздела
Нужное: Услуги нянь Коллекционные куклы Уборка, мытье окон